Per i profani, a partire da chi scrive, la matematica non è solo un mistero, ma qualcosa che ha pochi collegamenti con la realtà. Ebbene, si tratta di un approccio quanto meno parziale perché nel corso degli ultimi mesi, due diverse squadre di matematici hanno compiuto imprese che potrebbero ridefinire i confini della fisica e della matematica pura. Con ricadute importanti sulla vita pratica, in particolare nella simulazione meteorologica e nella sicurezza digitale. Un team ha finalmente risolto la celebre sesta problematica di Hilbert. L’altro ha risolto un enigma geometrico formulato oltre un secolo fa: la congettura di Kakeya in tre dimensioni.
Andiamo con ordine. Nel 1900, il matematico David Hilbert presentò a Parigi un elenco di 23 problemi fondamentali per la matematica del futuro. Il sesto chiedeva di fondare la fisica su basi matematiche rigorose, partendo da un insieme minimo di assiomi. In particolare, Hilbert citava il comportamento dei gas e i lavori di Ludwig Boltzmann. Per più di un secolo, tuttavia, la piena unificazione teorica delle tre principali descrizioni del moto dei fluidi rimase incompleta. Ci riferiamo alle leggi di Newton, che descrivono il moto delle singole particelle (microscopico). All’equazione di Boltzmann, che offre una descrizione statistica del comportamento di un “tipico” particolato (mesoscopico). E infine le equazioni di Euler e Navier-Stokes, che trattano il fluido come un mezzo continuo (macroscopico). Insomma, mancava qualcosa (e in matematica qualcosa vuol dire qualcosa che possa essere dimostrato) che leghi tutto insieme.
Il gruppo di matematici composto da Yu Deng (Università di Chicago), Zaher Hani e Xiao Ma (Università del Michigan) ha ora colmato questa lacuna. Dimostrando come le leggi che descrivono il movimento dei fluidi siano collegate tra loro, in un’unica dimostrazione matematica valida nel tempo. È un passo avanti cruciale per l’assiomatizzazione della fisica, come Hilbert auspicava, e potrebbe ispirare analoghi sviluppi in altre aree della scienza.
Quasi in parallelo, un altro risultato storico è stato raggiunto da Joshua Zahl (Università della British Columbia) e Hong Wang (New York University), che hanno risolto la congettura di Kakeya in tre dimensioni. Proposta nel 1917 dal matematico giapponese Sōichi Kakeya, la questione ruotava attorno a come ruotare un ago di 360 gradi minimizzando lo spazio occupato. Il problema, apparentemente semplice in due dimensioni, si complica enormemente in tre.
Il principio alla base della congettura è che, indipendentemente dalla tecnica usata, la dimensione dello spazio che l’ago traccia ruotando deve coincidere con la dimensione dello spazio stesso. La congettura era stata risolta per una e due dimensioni (rispettivamente nel 1917 e nel 1971), ma la prova tridimensionale ha resistito a decenni di tentativi. Zahl e Wang sono riusciti a completarla attraverso un’analisi sistematica che ha escluso ogni scenario in cui la dimensione tracciata potesse essere inferiore a tre. Detta così, la questione è affascinante e misteriosa al tempo stesso. Ci basti capire che, secondo molti esperti, si tratta di una delle scoperte più significative del secolo in ambito matematico.
Queste due scoperte non cambiano subito la vita quotidiana, ma rafforzano le basi della scienza che usiamo ogni giorno. La prima rende più solide le previsioni e le simulazioni fisiche. Ciò significa previsioni più precise, tecnologie più sicure, e potenzialmente nuove scoperte in fisica applicata. L’altra apre nuove possibilità in informatica e sicurezza digitale.
